Se llama diferencia de cuadrados a un binomio de la forma
a2
– b2
en donde a y b son números reales. Las siguientes expresiones son
ejemplos
de diferencias de cuadrados:
1) 25 – a2
2) m2
– n4
3) x2
– 1
Se dice que dos binomios son conjugados si difieren sólo en un signo.
Ejemplos de binomios conjugados son:
1) a + b y a – b
2) 3 + 2n y 3 – 2n
3) – m + k y – m – k
Factorización de una diferencia de cuadrados
La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de dos
binomios conjugados
a2
– b2
= ( a + b ) (a – b )
Nótese que el término que cambia de signo en los binomios conjugados es
el
correspondiente al término que se resta en la diferencia de cuadrados.
La factorizacion de diferencia de cuadrados es muy
facil solo hay que sacra la raiz de los dos terminos y ponerlos en los
parentesis, nadamas que uno va a ser positivo y el otro negativo. Cuando es una
letra y sacas la raiz debes sumar un numero 2 veces me refiero a sacar la mitad
del elevado para poder sacar la raiz.
Factorizacion de un trinomio de segundo grado El trinomio de segundo grado, es el resultado de multiplicar dos binomios con un término en común.
Primer paso.
Cuando el coeficiente de la literal de 2º grado es 1.
Para factorizar el trinomio de 2º grado.
a) Se escriben dos paréntesis.
b) Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.
c) Se buscan 2 números que multiplicados entre sí den el tercer término y que sumados entre sí den el coeficiente del segundo término.
Ejemplo:
1) Supongamos que tienes el polinomio x2-2x-15
a) Se escriben dos paréntesis ( ) ( ).
b) Se obtiene la raiz cuadrada del primer término
c) Buscamos dos números que multiplicados den (-15) y sumados (-2) en este caso:
(+3)(-5)=-15
(+3)+(-5)=-2
Por lo tanto los factores son:
(x-5)(x+3)=x2-2x-15
Segundo paso.
Descomposición en factores de un trinomio de la forma ax2+px+q.
Este tipo de polinomios se generan cuando el término de segundogrado, tiene coeficiente diferente de 1.
1) Para hacer esta factorización se llevan a cabo los siguientes pasos:
a) Se multiplica el coeficiente del término de segundo grado por el término independiente, es decir, el que no tiene literal. En este caso (q), del cual tienes que tomar en cuenta el signo.
b) Se buscan dos números que sumados den el coeficiente del término de primer grado (p) y que multiplicados den como resultado el producto aq (término de segundo grado por el término independiente).
c) Sustituimos p, (el término de primer grado ) por la suma de los números hallados en el paso anterior.
d) Factorizamos el nuevo polinomio por agrupación de paréntesis.
Ejemplo:
Descomponer en factores el siguiente polinomio.
1) 10x2+x-2
a) Multiplicamos el coeficiente del término de segundo grado por el término independiente
(10)(-2)=-20
b) Se buscan dos números que multiplicados nos den como resultado -20 y sumados nos den como resultado el coeficiente del término de primer grado; en este caso +1, por lo tanto dos números que multiplicados dan -20 y sumados dan 1, son 5 y -4
c) Sustituimos el término de primer grado por la suma de los números hallados.
En este caso sustituimos +1x por 5x - 4x
10x2+5x-4x-2
e) Factorizamos el nuevo polinomio por agrupación.
para poder factorizar un trinomio de segundo grado se necesita sacar la raiz cuadrada del termino cuadratico, luego los dos termino que te quedaron se habren parentesis y el primer numero es ponerlo y que al sumarlo te de el numero luego con el segundo que te quedo multiplicarlo y te de el numero escrito. pero en los dos numeros ya sea multiplicando y sumando sea el mismo numero porque uno se multiplica y el otro se suma y no se cambia solo que el resultado va a ser diferente.
Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma
a 2 +2ab+b2 Para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se debe:
1.- Identificar los dos términos que son cuadrados perfectos obteniéndoles su raíz cuadrada. 2.- El tercer término corresponde al doble producto de la raíz cuadrada de los dos términos del punto anterior.
Si se tiene al trinomio a 2 +2ab+b2
se identifican los dos términos que son cuadrados perfectos a 2 =a b 2 =b el tercer término corresponde al doble producto de las raíces de los dos anteriores 2ab Por lo tanto a 2 +2ab+b2
es un trinomio cuadrado perfecto. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:
1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos del trinomio. 2. Se anotan los dos términos anteriores como una suma algebraica elevada al cuadrado.
Lo anterior queda expresado como
a 2 +2ab+b2 =(a+b)2
Ejemplo 1
Factorizar y2 +6yw+9w2
Solución
Se investiga si el trinomio es cuadrado perfecto.
La raíz cuadrada de y2 es y La raíz cuadrada de 9w2 es 3w El doble del producto de ambas raíces es 2(y)(3w)=6yw. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto y la factorización es:
se agarra las raizes cuadradas de los terminos que si son cuadrados perfectos y se multiplican por 2 y el resultado que te da es el numero que no se utilizo.
la estadistica trata del rencuento,ordenacion y clasificacion,de los datos obtenidos por observaciones,para poder hacer compararciones y sacfar conclusionbes.
Un esrtuduio estadistico consta de la sig fase:
Recogida de datos
Organizacion y representacion de datos
Analisis de datos
Obteniendo conclusiones
Conceptos estadisticos
POBLACION:Es un conjunto de todos los elementos alos cuales sele somete a un estudio estadistico.
INDIVIDUO:o unidad estadistica es cada uno de los elementos que componene la poblacion.
MUESTRA:Es unh conjunto representativo de la poblacion de diferencia,el numero de individuos de una muestra es menor que la de la poblacion.
MUESTREO:Es la reunion de datosque se decea a estudiar,obtenidos de una proporcion reducida y representativa de la poblacdion.
VALOR:Es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadistico.si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos:cara cruz.
DATO:Es cada uno de los valores que sea obtenido al realizar un estudio estadistico .si lanzamos una moneda al aire 5 veces datos:cra,cara,crus,cara,cruz.
La estadística es el conjunto de diversos métodos matemáticos que tienen como objetivo obtener, presentar y analizar datos (ya sean números o cualidades), la poblacion ,representa todo el conjunto de elementos que posee la información que vamos a analizar.
Por ejemplo: si vamos a analizar la estatura media de los españoles la población sería todos los ciudadanos españoles. La muestra,del total de la población se selecciona un grupo representativo que es el que vamos a estudiar.El indiviuo, cada elemento de la muestra. En este ejemplo cada ciudadano del grupo de 2.000 que hemos seleccionado.la variable estadistica, es la información que vamos a analizar. En nuestro ejemplo, la estatura media. Las variables pueden ser:
Cualitativas: características que no se pueden representar numéricamente. Por ejemplo, sexo.
Cuantitativas: características que sí se pueden representar numéricamente. Por ejemplo, altura y edad.
La modalidad, son los valores que pueden tomar las variables, La media aritmetica, representa el valor medio que toman los datos de una observación estadística. Se calcula sumando todos los resultados y dividiendo la suma entre el número de registros.
nociones de probabilidad
las nociones de probabilidad sirva para verificar cuando ocurre un experimento aleatorio o determinista
EXPERIMENTO ALEATORIO
Si se considera que un experimento determinista es aquel en el que se obtiene el mismo resultado cada vez que se lleva a cabo, entonces un juego de dados no es un experimento de este tipo, pues se ignora cuáles serán los números que saldrán.
Esto significa que el juego de dados es un experimento aleatorio pues se pueden obtener diferentes resultados y no se sabe cuál será el de la siguiente vuelta.
Sin embargo, sí es posible analizar y resolver problemas relacionados con experimentos aleatorios, determinando todos los resultados posibles.
En un experimento aleatorio, los resultados posibles son aquellos que pueden suceder cada vez que se repite el experimento.
Ejemplos:
Lanzamiento de un dado:
Los resultados posibles son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Lanzamiento de una moneda:
Los resultados posibles son a y s.
Lanzamiento de un dado y una moneda:
Los resultados posibles son:
(1, a), (2, a), (3, a), (4, a), (5, a), (6, a)
(1, s), (2, s), (3, s), (4, s), (5, s), (6, s)
En resumen:
La probabilidad es el grado de certidumbre con que se mide la ocurrencia de cierto resultado.
La probabilidad se mide con valores que van desde cero, para la imposibilidad de ocurrencia, hasta 1, cuando se tiene toda la seguridad de que se presentará cierto resultado.
Cuando consideramos que en un evento todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrencia o no, hablamos de la probabilidad que se conoce como probabilidad clásica.
PROBABILIDAD FRECUENCIAL
Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los datos y se calcula la siguiente expresión.
Ejemplo:
Después de jugar 30 partidas de dados, dos jugadores obtuvieron los siguientes resultados:
Partida 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Jugador 1
8
3
8
3
3
3
8
3
3
8
3
8
3
8
3
Jugador 2
2
6
2
6
2
6
6
2
2
6
2
6
6
6
2
Ganador
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
Partida 2
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Jugador 1
8
3
3
3
8
3
3
3
3
8
3
3
3
3
8
Jugador 2
2
6
2
2
6
6
6
2
2
6
6
2
2
6
2
Ganador
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
Los resultados que se observan en la tabla confirman que el juego de dados es un experimento aleatorio.
Para concentrar la información, se puede utilizar una tabla como ésta:
La tabla se completa aplicando la definición frecuencial de probabilidad, también llamada probabilidad frecuencial o probabilidad empírica.
Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los resultados y se calcula con la expresión para obtener dicha probabilidad:
Para el caso de la tabla, si P (A) = probabilidad frecuencial de que el jugador 1 gane el juego, entonces:
Número de veces que se obtiene el resultado que interesa = 21
Número de repeticiones del experimento = 30
Siguiendo un proceso parecido se puede encontrar la probabilidad frecuencial P (B) de que el jugador 2 gane el juego:
Así, es más probable que el jugador 1 gane, ya que:
Entonces, el jugador 1 es el ganador.
Fórmula clásica de probabilidad
En algunos experimentos aleatorios se pueden determinar todos los resultados posibles, de tal manera que tengan las mismas oportunidades de ocurrir. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, se considera que es simétrico y homogéneo, por lo que cada uno de los resultados posibles 1, 2, 3, 4, 5 y 6 tienen las mismas posibililidades de ocurrir. Entonces, cada uno de ellos tendrá la misma probabilidad.
Si se desea la probabilidad de obtener menos de 3 puntos al lanzar el dado, primero se deben localizar de los resultados posibles aquellos en que se obtienen menos de 3 puntos.
El evento A consta de los resultados posibles 1 y 2, por lo que:
Los resultados posibles que favorecen que ocurra un evento A se llaman resultados favorables para A.
Para obtener la probabilidad de un evento A en un experimento aleatorio se procede así:
Determinar el total de resultados posibles.
Establecer el número de resultados favorables al evento A.
no es eficas para saber de un experimento cuando es requerido hay 2 experimentos uno determinista que antes de realizarlo ya sabemos el resultado otro aleatorio que no sabemos el resultado sin antes realizarlo
